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Il mwbqsubdifferenziale è un concetto mwbgmatematico utilizzato nello studio delle mwbwfunzioni convesse.

Sia mwdq f : R n → → R {\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} } una funzione convessa non necessariamente mwdgdifferenziabile; si definisce il subdifferenziale di mwdwf in mweaxmweq0 come:

mwfa ∂ ∂ f ( x 0 ) = { g ∈ ∈ R n : f ( x ) ≥ ≥ f ( x 0 ) + ⟨ ⟨ g , x − − x 0 ⟩ ⟩ } {\displaystyle \partial f(x_{0})={\bigl \{}g\in \mathbb {R} ^{n}:f(x)\geq f(x_{0})+\langle g,x-x_{0}\rangle {\bigr \}}}

Si dice che mwfg g ∈ ∈ ∂ ∂ f ( x 0 ) {\displaystyle g\in \partial f(x_{0})} è un subgradiente in xmwfw0.

Un subgradiente quindi individua un mwgqiperpiano di supporto al mwgggrafico della mwgwfunzione, e viceversa. Ad esempio in mwhaR un subgradiente è il mwhqcoefficiente angolare della tangente al grafico in xmwhg0 (o la derivata della funzione che la definisce), come mostrato in figura; analogamente in mwhwRmwian un subgradiente è il gradiente di un iperpiano di supporto.

Il subdifferenziale così definito è una diretta generalizzazione del caso differenziabile, infatti se mwigf è differenziabile il subdifferenziale contiene solo il mwiwgradiente della funzione. Inoltre in questo caso il membro destro della diseguaglianza che definisce un subgradiente è un'mwjaapprossimazione di Taylor troncata al primo ordine. Tuttavia generalizzando si perdono alcune proprietà; il subdifferenziale infatti non è più un mwjqoperatore differenziale ma un insieme.

Il subdifferenziale gode di alcune utili proprietà:

• se la funzione è convessa (continua) allora in ogni punto esiste un subgradiente,

• se 0 è un subgradiente di mwkgf in x allora x è un minimo globale di mwkwf,

• se x è un minimo globale di mwlqf allora 0 è un subgradiente di mwlgf in x,

• mwma ∂ ∂ f ( x ) {\displaystyle \partial f(x)} è un mwmqinsieme convesso.

I subgradienti, comunque, non sono generalmente unici. In particolare, quando la funzione non è differenziabile, posso esistere più iperpiani di supporto al grafico della funzione (come mostrato in figura). Pertanto anche un punto di minimo può avere un subgradiente non nullo.

• mwngDifferenziale (matematica)

• mwoaGradiente

• Algoritmo del subgradiente

• mwpaOttimizzazione (matematica)